歪対称行列(skew symmetric matrix)【外積を行列で表現できる】

歪対称行列(skew symmetric matrix)【外積を行列で表現できる】

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ロボット関連用語メモ　歪対称行列

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歪対称行列(skew symmetric matrix)

AT=−AA^T = -A を満たすような行列のことを「歪対称行列(skew symmetric matrix)」という。

より具体的には Aij=−AjiA_{ij} = - A_{ji} を満たすような行列のことである。

2×2の行列の場合

A=(0a−a0)A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \\ \end{pmatrix}

3次元行列の場合

A=(0−cbc0−a−ba0)A = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix}

歪対称行列と外積の関連

3×3の歪対称行列は外積と同じ働きをするため、外積の計算を行列で記述することが可能になる。

例）角速度から速度の計算

速度 v⃗=[vxvyvz]\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}は、以下のように角速度ベクトル： ω⃗=[ωxωyωz]\vec{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}と 位置ベクトル： r⃗=[rxryrz]\vec{r} = \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix}の外積によって求められる。

v⃗=ω⃗×r⃗\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}

ここで、「角速度ベクトルω⃗\vec{\omega}」を「歪対称行列Ω\Omega」に置き換えると下式のように外積を行列で計算できる。

v⃗=[0−ωzωyωz0−ωx−ωyωx0][rxryrz]=Ωr⃗\vec{v} = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_{z} & 0 & -\omega_{x} \\ -\omega_{y} & \omega{x} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{bmatrix} = \Omega\vec{r}
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「歪対称行列Ω\Omega」 を外積として使用する場合、外積の計算をしているということを強調するため[ω⃗×][\vec{\omega}\times]のように表記することがある。（式の意味としては全く同じ）v⃗=Ωr⃗=[ω⃗×]r⃗\vec{v} = \Omega\vec{r} = [\vec{\omega}\times]\vec{r}

参考サイト